Для обычного заёмщика, берущего в банке кредит, важнейшим показателем является сумма всех процентов по кредиту, которые ему предстоит заплатить. С точки зрения финансовой теории такой подход категорически неверен: деньги обесцениваются со временем, поэтому более ранние платежи имеют больший вес, чем более поздние, и их просто нельзя суммировать. Тем не менее, если уровень инфляции не очень высок (то есть если деньги обесцениваются не очень быстро), и кредит выдан на небольшой срок (в пределах нескольких лет), то такой показатель, как сумма уплаченных по кредиту процентов, имеет право на существование. В этом параграфе мы получим формулы для расчёта этого показателя для кредитов, погашаемых в соответствии с аннуитетной и дифференцированной схемами, когда промежутки времени между датами внесения платежей одинаковы.

Собственно, для аннуитетной схемы всё очень просто: очевидно, что сумма уплаченных по кредиту процентов составляет

\[\tag{13.1} I_{\text{a}} = n A - S_0\]

Действительно, ведь nA — это сумма всех платежей, из которых S₀ идёт на погашение основного долга.

Для того, чтобы найти сумму процентных денег для дифференцированной схемы, придётся вспомнить § 11 и формулу (11.2), из которой следует, что часть платежа A_k, которая идёт на уплату начисленных процентов, равна

\[I_{k,\text{d}} =(n-k+1)\frac{(1+i)^\tau-1}{n}S_0\]

Последовательность чисел \(I_{k,\text{d}}\) представляет собой арифметическую прогрессию с начальным членом \[((1+i)^\tau-1)S_0\] и разностью \[-((1+i)^\tau-1)\frac{S_0}{n}\], сумма которой равна

½·S₀·(n+1)·((1+i)^τ-1)

Значит,

\[\tag{13.2} I_{\text{d}}=\frac{((1+i)^\tau-1)S_0 (n+1)}{2}\]

Пример
Рассмотрим кредит размером 300 тысяч рублей, выданный на полгода под 24% годовых. В общем, всё тот же самый, который мы разбирали в примерах в параграфах 9 и 11.

Если кредит погашается одинаковыми (аннуитетными) платежами, то сумма уплаченных заёмщиком процентов составит

I_a = 6 · 53173,45 – 300 000 = 19 040,70 рублей

(размер аннуитетного платежа мы находили в § 9).

Если же кредит погашается дифференцированными платежами, то сумма уплаченных процентов будет равна

\(I_{\text{d}}=\frac{((1+0,24)^{\frac{1}{12}}-1) \cdot 300\ 000 \cdot (6+1)}{2}\approx 18991,96\)

Замечание: если вы достаточно внимательно посмотрите на результаты из примера, то увидите, что I_a ≥ I_d. На самом деле, такое соотношение выполняется всегда, но об этом пойдёт речь в следующем параграфе.