§ 20. Расчет полной стоимости кредита

 

В предыдущем параграфе мы рассмотрели общий метод вычисления эффективной процентной ставки для произвольной ссуды, платежи по которой совершаются актуарным способом. Сейчас мы разберём, как с помощью этого метода и простого табличного редактора найти полную стоимость кредита для актуарного способа.

Полная стоимость кредита вычисляется по формуле ст. 6 353-ФЗ "О потребкредите", начиная с 1.09.2014 года и представляет собой устаревшее понимание сложной процентной ставки.

Актуарный метод для этих сложных процентов можно представить в виде таблицы:

i

Дата

Дата в годах

Денеж-ный поток

Погашение процентов

Погашение основного долга

Остаток основного долга

0

d0

G0=G(d0)

R0

 

 

K0=-R0

 

 

 

 

 

 

i

di

G1=G(di)

Ri

Pi=Ki-1r(Gi-Gi-1)

Hi=Ri-Pi

Ki=Ki-1-Hi

 

 

 

 

 

 

n

dn

Gn=G(dn)

Rn=Pn+Hn

Pn=Kn-1r(Gn-Gn-1)

Hn=Kn-1

Kn=0

Здесь:

Gi=yii/Di, где yi-год даты di, Δi - порядковый номер дня в году di, Di - продолжительность календарного года даты di. Например, G(21 сентября 2021)=2021 265/366.

r - годовая процентная ставка, например, r=10%=0,1

Пусть n=4, тогда K1=K0-H1=K0-(R1-K0r(G1-G0))=K0(1+r(G1-G0))-R1.

K2=K1-H2=K1-(R2-K1r(G2-G1))=K1(1+r(G2-G1))-R2=(K0(1+r(G1-G0))-R1)(1+r(G2-G1))-R2=K0(1+r(G1-G0))(1+r(G2-G1))-R1(1+r(G2-G1))-R2.

K3=K2-H3=K2-(R3-K2r(G3-G2))=K2(1+r(G3-G2))-R3=(K0(1+r(G1-G0))(1+r(G2-G1))-R1(1+r(G2-G1))-R2)(1+r(G3-G2))-R3=K0(1+r(G1-G0))(1+r(G2-G1))(1+r(G3-G2))-R1(1+r(G2-G1))(1+r(G3-G2))-R2(1+r(G3-G2))-R3

K4=K3-H4=K3-(R4-K3r(G4-G3))=K3(1+r(G4-G3))-R4=(K0(1+r(G1-G0))(1+r(G2-G1))(1+r(G3-G2))-R1(1+r(G2-G1))(1+r(G3-G2))-R2(1+r(G3-G2))-R3)(1+r(G4-G3))-R4=-R0(1+r(G1-G0))(1+r(G2-G1))(1+r(G3-G2))(1+r(G4-G3))-R1(1+r(G2-G1))(1+r(G3-G2))(1+r(G4-G3))-R2(1+r(G3-G2))(1+r(G4-G3))-R3(1+r(G4-G3))-R4=0

Делаем предположение для доказательства методом математической индукции:

\[K_k=-R_k-\sum_{i=0}^{k-1}R_i\prod_{j=i+1}^k(1+r(G_j-G_{j-1}))\]

1. Для k=1

\[K_1=-R_1-\sum_{i=0}^0R_i\prod_{j=1}^1(1+r(G_j-G_{j-1}))=K_0(1+r(G_1-G_0))-R_1\]

2. Если верно для k, то верно и для k+1:

\[K_{k+1}=(-R_k-\sum_{i=0}^{k-1}R_i\prod_{j=i+1}^k(1+r(G_j-G_{j-1})))(1+r(G_{k+1}-G_k))-R_{k+1}\]

Раскрываем скобку, получаем:

\[K_{k+1}=-R_{k+1}-\sum_{i=0}^kR_i\prod_{j=i+1}^{k+1}(1+r(G_j-G_{j-1}))\]

Итак, это утверждение:

\[K_{n}=-R_{n}-\sum_{i=0}^{n-1}R_i\prod_{j=i+1}^{n}(1+r(G_j-G_{j-1}))\]

доказано методом математической индукции для любого натурального n.

Отсюда, поскольку Kn=0, уравнение для r будет

\[-R_{n}-\sum_{i=0}^{n-1}R_i\prod_{j=i+1}^{n}(1+r(G_j-G_{j-1}))=0\]

Разделим обе части уравнения на \(-\prod_{j=1}^n(1+r(G_j-G{j-1}))\):

\[R_0+\sum_{i=1}^n{R_i\over \prod_{j=1}^i(1+r(G_j-G_{j-1}))}=0\]

Ответ: ПСК вычисляется из уравнения:

\[ДП_0+\sum_{i=1}^n{ДП_i\over \prod_{j=1}^i(1+{ПСК\over 100\%}\times(G_j-G_{j-1}))}=0\]

Мы получили значение ПСК, которое подразумевается в ст.6 353-ФЗ "О потребкредите"

Несмотря на то, что формула там немного другая, мы будем рассматривать именно доказанную нами формулу, поскольку вольное обращение законодателя с формулами нам уже известно:

  Когда под формулой

\(S=P×(1+I×j/K)^n\)

подразумевается

\(S=P\times \prod_{k=1}^n(1+I\times(G_k-G_{k-1}))\)

Все по тому же методу Ньютона:

\[\tag{19.1} x_{(k+1)} = x_{(k)} - \frac{f(x_{(k)})}{f'(x_{(k)})},\]

находим

\[f(ПСК)=ДП_0+\sum_{i=1}^n{ДП_i\over \prod_{j=1}^i(1+{ПСК\over 100\%}\times(G_j-G_{j-1}))}\]

\[f'(ПСК)=-\sum_{i=1}^n{ДП_i\sum_{k=1}^i{G_k-G_{k-1}\over 1+{ПСК\over 100\%}\times(G_k-G_{k-1})}\over \prod_{j=1}^i(1+{ПСК\over 100\%}\times(G_j-G_{j-1}))}\]

Составляем функции на VBA Excel:

Function ДелитсяНа(ByVal y As Integer, ByVal m As Integer) As Integer
  ДелитсяНа = Int(y / m) - Int((y - 1) / m)
End Function

Function ПродолжительностьГода(ByVal y As Integer) As Integer
  ПродолжительностьГода = 365 + ДелитсяНа(y, 4) - ДелитсяНа(y, 100) + ДелитсяНа(y, 400)
End Function

Function ДатаВГодах(ByVal d As Date) As Double
  y = Year(d)
  t = ПродолжительностьГода(y)
  m = Month(d)
  ДатаВГодах = y - 2000 + (Day(d) + Int(30.56 * m) - 30 - Int(0.1 * m + 0.7) * (367 - t)) / t
End Function

Function ПСК(Значения As Range, Даты As Range, Optional Предп As Double = 0) As Variant
'Функция воспринимает как даты, выраженные в годах,
'так и даты excel, причем даты, выраженные в годах от 2000 года до 2366
'года воспринимаются автоматически.
'Даты 1900-го года воспринимаются, как даты, выраженные в годах
  If Значения.Count <> Даты.Count Then
    ПСК = "#РАЗМЕРНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ И ДАТ НЕ СХОДЯТСЯ"
  ElseIf Значения.Count = 1 Then
    ПСК = "#НЕДОСТАТОЧНО ЗНАЧЕНИЙ"
  Else
    ПСК = Предп
    ПСК0 = ПСК + 0.00001
    j = 1
    Dim ДатыВГодах() As Double
    ReDim ДатыВГодах(Даты.Count)
    If Даты(1) > 366 Then
      For i = 1 To Даты.Count
        ДатыВГодах(i) = ДатаВГодах(Даты(i))
      Next
    Else
      For i = 1 To Даты.Count
        ДатыВГодах(i) = Даты(i)
      Next
    End If
    While Abs(ПСК0 - ПСК) >= 0.000000000000001 And j < 100
      f = Значения(1)
      diff = 0
      t = 1
      For i = 2 To Значения.Count
        t = t * (1 + ПСК * (ДатыВГодах(i) - ДатыВГодах(i - 1)))
        f = f + Значения(i) / t
        df = 0
        For k = 2 To i
          df = df + (ДатыВГодах(k) - ДатыВГодах(k - 1)) / (1 + ПСК * (ДатыВГодах(k) - ДатыВГодах(k - 1)))
        Next
        diff = diff - Значения(i) * df / t
      Next
      ПСК0 = ПСК
      ПСК = ПСК - f / diff
      j = j + 1
    Wend
    If j = 100 Then
      ПСК = "#РЯД НЕ СХОДИТСЯ:" & ПСК & ";" & ПСК0
    End If
  End If
End Function

 

Пример
Кредит размером 24 тысячи евро, выданный 1.09.2020 на два года под 12% годовых, погашается ежемесячными платежами в соответствии с дифференцированной схемой. Комиссия за организацию кредита составляет 1% от его суммы. Кроме того, каждый месяц с заёмщика взимается комиссия за ведение ссудного счёта размером 0,1% от суммы кредита. Проценты вычисляются по устаревшим правилам сложных процентов. Нам нужно найти полную стоимость кредита.

Прежде всего, построим график погашения кредита.

При получении кредита заёмщик был вынужден заплатить 0,01 · 24 000 = 240 евро, а каждый месяц с него взимается комиссия размером 0,001 · 24 000 = 24 евро. Значит, график платежей по кредиту имеет следующий вид:

Дата Дата в годах Денежный поток Погашение процентов Погашение основного долга Комиссии и прочие платежи Остаток основного долга
01.09.2020 20 245/366 -23760     240 24000
01.10.2020 20 275/366 1496,13 472,13 1000 24 23000
01.11.2020 20  51/61 1491,54 467,54 1000 24 22000
01.12.2020 20  56/61 1456,79 432,79 1000 24 21000
01.01.2021 21   1/365 1450,92 426,92 1000 24 20000
01.02.2021 21  32/365 1431,67 407,67 1000 24 19000
01.03.2021 21  12/73 1373,81 349,81 1000 24 18000
01.04.2021 21  91/365 1390,9 366,9 1000 24 17000
01.05.2021 21 121/365 1359,34 335,34 1000 24 16000
01.06.2021 21 152/365 1350,14 326,14 1000 24 15000
01.07.2021 21 182/365 1319,89 295,89 1000 24 14000
01.08.2021 21 213/365 1309,37 285,37 1000 24 13000
01.09.2021 21 244/365 1288,99 264,99 1000 24 12000
01.10.2021 21 274/365 1260,71 236,71 1000 24 11000
01.11.2021 21  61/73 1248,22 224,22 1000 24 10000
01.12.2021 21  67/73 1221,26 197,26 1000 24 9000
01.01.2022 22   1/365 1207,45 183,45 1000 24 8000
01.02.2022 22  32/365 1187,07 163,07 1000 24 7000
01.03.2022 22  12/73 1152,88 128,88 1000 24 6000
01.04.2022 22  91/365 1146,3 122,3 1000 24 5000
01.05.2022 22 121/365 1122,63 98,63 1000 24 4000
01.06.2022 22 152/365 1105,53 81,53 1000 24 3000
01.07.2022 22 182/365 1083,18 59,18 1000 24 2000
01.08.2022 22 213/365 1064,77 40,77 1000 24 1000
01.09.2022 22 244/365 1044,38 20,38 1000 24 0

Теперь рассчитаем полную стоимость кредита при помощи полученной нами функции ПСК:

Мы получили ПСК отличную от 24% в силу того, что комиссии и прочие платежи не равны 0

Для сравнения посмотрим, как будет считать встроенная функция ВСД:

Мы видим, что функция ВСД считает неточно (27,225% против 27,286%)