Рента с постоянным темпом проста, или рента с постоянным относительным приращением, — это рента, чьи платежи образуют геометрическую прогрессию (обычно возрастающую). Если обозначить размер первого платежа такой ренты через R, а темп роста остальных платежей — через g годовых (соответственно, знаменатель геометрической прогрессии будет равен (1 + g)^τ), то её современная стоимость будет вычисляться по общей формуле, полученной из формулы (25.2):

\[\tag{26.1} R(0) = \sum_{k=1} \frac{R(1+g)^{(k-1)\tau}}{(1+j)^{k\tau}} = \frac{R}{(1+j)^\tau} \cdot \sum_{k=1} \left( \frac{1+g}{1+j} \right)^{(k-1)\tau}\]

Современная стоимость конечной ренты с постоянным темпом роста

Как и в случае с постоянной рентой, дисконтированные платежи ренты с постоянным темпом роста образуют геометрическую прогрессию. Если эта прогрессия конечна и имеет n членов, то её сумма равна

\[\tag{26.2} R(0) = \frac{R}{(1+j)^\tau-(1+g)^\tau}\cdot \left(1-\left(\frac{1+g}{1+j}\right)^{\tau n}\right)\]

Современная стоимость бесконечной ренты с постоянным темпом роста

Для бесконечной ренты с постоянным темпом роста формула (26.2) заметно упрощается. Если темп роста платежей меньше процентной ставки, то есть если g < j, то в правой части этой формулы дробь в круглых скобках, которая возводится в степень, меньше единицы. Значит, она стремится к нулю при бесконечном увеличении n. Таким образом, для бесконечной ренты выражение в квадратных скобках превращается в единицу, и мы получаем следующую элегантную формулу:

\[\tag{26.3} R(0) = \frac{R}{(1+j)^\tau - (1+g)^\tau }\]

Обратите внимание, что если темп роста платежей превосходит (или хотя бы равен) процентной ставке, то современная стоимость такой бесконечной ренты не будет определена, так как правая часть формулы (26.2) будет неограниченно возрастать при увеличении n.

Пример
Предположим, что вы рассматриваете возможность вложения своих денег в акции молодой перспективной компании «Нанобургер», которые в настоящий момент продаются по курсу 4000 рублей за одну акцию. Известно, что в конце прошлого года компания выплатила своим акционерам дивиденды в размере 100 рублей на акцию. Вы предполагаете, что в ближайшие пять лет, в период стремительного развития компании, темп роста дивидендов составит 20% в год. Затем, когда наступит период стабилизации, в соответствии с вашими ожиданиями дивиденды на акцию будут возрастать на 5% каждый год. Кроме того, вам известно, что акции других подобных компаний имеют доходность 10%. Ваша задача — выяснить, есть ли смысл приобретать акции рассматриваемой компании по предлагаемой цене 4000 рублей за акцию.

Ваши рассуждения могут иметь примерно следующее содержание. Если вы вложите свои деньги в акции «Нанобургера», то вы откажетесь от доходности 10% годовых, которую обеспечивают акции других подобных предприятий. Следовательно, 4000 рублей, которые вы вложите в акции этой компании, должны обеспечить вам денежный поток (в виде дивидендов), соответствующий доходности не ниже 10% годовых. Значит, всё, что вам нужно сделать, — это найти современную стоимость потока дивидендов, выплачиваемых ежегодно по одной акции «Нанобургера», с использованием ставки дисконтирования 10%. Если результат окажется больше 4000 рублей, то вам следует вкладывать деньги в акции этой компании, если меньше — то этого делать не стоит, так как акции других подобных компаний обеспечивают лучшую доходность.

Теперь, когда мы имеем конкретную вычислительную задачу, самое время взглянуть на поток платежей, который образуют дивиденды, выплачиваемые по одной акции «Нанобургера»:

Год	Дивиденды на акцию, руб	Темп роста дивидендов
1	120	20%
2	144	20%
3	173	20%
4	207	20%
5	249	20%
6	261	5%
7	274	5%
...	...	5%

Данный поток платежей можно разбить на две части: конечную ренту из 5 платежей с постоянным темпом роста 20% и первым платежом 120 рублей и бесконечную ренту с постоянным темпом роста 5% и первым платежом 261 рубль.

Современная стоимость первой ренты находится по формуле (26.2):

\(R_1(0) = \dfrac{120}{0,1-0,2} \left[ 1-\left( \dfrac{1+0,2}{1+0,1} \right)^5 \right] \approx 654\) рубля.

Современная стоимость второй (бесконечной) ренты находится в два этапа. Сначала по формуле (26.3) находится её стоимость в конце пятого года:

\(R_2(5) = \dfrac{261}{0,1-0,05} = 5220\) рублей.

Затем эта сумма дисконтируется по ставке 10% годовых, чтобы найти современную стоимость второй ренты:

\(R_2(0) = \dfrac{5220}{(1+0,1)^5} \approx 3241\) рубль.

Сумма R₁(0) и R₂(0) составляет примерно 3895 рублей. Это меньше, чем цена одной акции «Нанобургера», поэтому вам не следует вкладывать в них деньги.