Напомню, что рентой с постоянным абсолютным приращением называется рента, платежи которой образуют арифметическую прогрессию. Примером такой ренты служит поток платежей по кредиту, погашаемому в соответствии с дифференцированной схемой.

Несмотря на кажущуюся простоту, современная стоимость ренты с постоянным абсолютным приращением вычисляется наиболее сложным образом. Если обозначить размер первого платежа такой ренты через R, а величину прироста остальных платежей (разность арифметической прогрессии) — через D, то её современная стоимость будет вычисляться по общей формуле, полученной из формулы (25.2):

\[\tag{27.1} R(0) = \sum_{k=1}\frac{R+(k-1)D}{(1+j)^{k\tau}} = R \sum_{k=1} \frac{1}{(1+j)^{k\tau}} + D \sum_{k=1} \frac{k-1}{(1+j)^{k\tau}}\]

Первое слагаемое в правой части этой формулы нам уже знакомо — это современная стоимость постоянной ренты, которая находится по формуле (25.3) для конечной ренты или (25.4) для бесконечной ренты. Поэтому основной проблемой является нахождение краткой формы для второго слагаемого.

Современная стоимость конечной ренты с постоянным абсолютным приращением

Как обычно, сначала мы получим формулу для вычисления современной стоимости конечной ренты с абсолютным приращением, а затем с помощью предельного перехода получим более приятное выражение для ренты с бесконечным числом платежей.

Утверждение
Справедливо представление:

\[\sum_{k=1}^n \frac{k-1}{(1+j)^{k\tau}} = \frac{1-(1+j)^{-n\tau}(1+\left[(1+j)^\tau-1\right]n)}{[(1+j)^\tau-1]^2}\]

Доказательство
Начнём доказательство издалека. Введём функцию

\[f(x) = \sum_{k=1}^{n-1}(1+x)^{-k}\]

Она представляет собой современную стоимость постоянной ренты, состоящей из n – 1 платежа размером 1, вычисленную с использованием процентной ставки x. Согласно формуле (25.3):

\[f(x) = \frac{1-(1+x)^{1-n}}{x}\]

С другой стороны, f(x) является дифференцируемой функцией, и её производная равна

\[f'(x) = -\sum_{k=1}^{n-1} k(1+x)^{-k-1} = -\sum_{k=1}^n \frac{k-1}{(1+x)^k}\]

Если же мы продифференцируем краткое представление f(x), вычисленное по формуле (25.3), то получим следующее:

\[f'(x) = \frac{(n-1)(1+x)^{-n}x - (1-(1+x)^{1-n})}{x^2} = \frac{(1+nx)(1+x)^{-n} - 1}{x^2}\]

Значит,

\[-\sum_{k=1}^n \frac{k-1}{(1+x)^k} = - \frac{1-(1+nx)(1+x)^{-n}}{x^2}\]

Убирая из полученного равенства знаки минуса и заменяя x на (1+j)^τ-1, мы получим требуемое равенство.

Вернёмся к нашей задаче вычисления современной стоимости конечной ренты с постоянным абсолютным приращением. Согласно только что доказанному утверждению и формуле (25.3), современная стоимость такой ренты равна

\[\tag{27.2} R(0) = \frac{R}{(1+j)^\tau-1} \left[ 1-(1+j)^{-n\tau} \right] + \frac{D}{((1+j)^\tau-1)^2} \left[ 1-(1+n((1+j)^\tau-1))(1+j)^{-n\tau} \right]\]

Современная стоимость бесконечной ренты с постоянным абсолютным приращением

Если рента с постоянным абсолютным приращением содержит бесконечное число платежей, то выражения в квадратных скобках в формуле (27.2) обращаются в единицы. Обратите внимание: несмотря на то, что выражение \(1+n((1+j)^\tau-1)\) бесконечно возрастает при увеличении n, произведение \((1+n((1+j)^\tau-1))(1+j)^{-n\tau}\) всё равно стремится при этом к нулю. Это свойство показательной функции: она растёт намного быстрее линейной.

В общем, устремляя n к бесконечности в формуле (27.2), мы получаем следующее выражение для современной стоимости ренты с постоянным абсолютным приращением:

\[\tag{27.3} R(0) = \frac{R}{(1+j)^\tau-1} + \frac{D}{((1+j)^\tau-1)^2} \]