§ 10. Структура аннуитетных платежей
Под структурой платежа понимается информация о том, какая его часть идёт на уплату начисленных процентов, а какая — на погашение основого долга. Напомню, что такое деление обусловлено использованием актуарного метода (см. § 7). В этом параграфе мы определим структуру платежей по кредиту, погашаемого в соответствии с аннуитетной схемой, когда промежутки времени между платежами одинаковы.
Ясно, что для платежа с номером k та часть платежа, которая идёт на уменьшение основного долга, равна разности Dk = Sk–1 – Sk (Sk — это сумма основного долга, оставшаяся после внесения частичного платежа с номером k). Так как формула (7.1) при использовании аннуитетной схемы погашения кредита принимает вид
\[S_k = S_0 (1+i)^{k\tau} - A \sum_{j=0}^{k-1} (1+i)^{j\tau}\]
(это при неточном расчёте, когда промежутки времени между датами внесения платежей считаются одинаковыми), то
\[D_k = S_{k-1} - S_k = \left[ (1 + i )^{(k-1)\tau} - (1 + i)^{k\tau} \right] S_0 + (1 + i)^{(k-1)\tau} A\]
Вынося общий множитель за скобки и собирая подобные слагаемые, получаем более краткую форму записи:
\[\tag{10.1} D_k = (1 + i)^{(k-1)\tau} (A-S_0((1+i)^\tau-1) ) \]
Наконец, вспомнив формулу (9.2) из предыдущего параграфа, выражение (10.1) можно ещё больше упростить:
\[\tag{10.2} D_k = (1 + i)^{(k-1)\tau} (A-A(1-(1+i)^{n\tau}))=(1+i)^{-\tau(n-k+1)}A \]
Из формул (10.1) и (10.2) видно, что последовательность чисел Dk представляет собой геометрическую прогрессию с начальным членом
\[D_1 = A - S_0((1+i)^\tau-1) = \frac{A}{(1+i)^{n\tau}}\]
и знаменателем (1 + i)τ. Этот факт удобно использовать при построении графиков выплат.
Пример
Построим график погашения кредита размером 7800 долларов США, выданного на полгода под 13,5% годовых и погашаемого одинаковыми ежемесячными платежами.
В соответствии с формулой (9.2) аннуитетный платеж по кредиту равен
\(A = \frac{(1+0,135)^\frac{1}{12}-1}{1-(1+0,135)^{-\frac{6}{12}}} \cdot 7800 \approx 1348,69\) доллара.
Часть первого платежа, которая идёт на уменьшение основного долга, составляет
D1 = 1348,69 – \( (1+0,135)^\tfrac{1}{12}-1) \) · 7800 = \(\frac{1348,69}{(1+0,135)^{\tfrac{6}{12}}}\) ≈ 1265,94 доллара.
Числа D2, D3 и т.д. находятся последовательным умножением на множитель (1 + i)τ =\(1,135^\tfrac{1}{12}\) = 1,0106086:
- D2 = (1 + i)τ · D1 = 1,0106086 · 1265,94 ≈ 1279,37 долларов,
D3 = (1 + i)τ · D2 = 1,0106086 · 1279,37 ≈ 1292,95 доллара,
и так далее.
Теперь можно построить график погашения кредита:
№ платежа (k) | Величина задолженности (Sk) | Ежемесячный платёж | ||
---|---|---|---|---|
Сумма платежа (Ak) | в том числе | |||
на погашение основного долга (Dk) | на погашение процентов (Ik) | |||
0 | 7 800,00 | |||
1 | 6 534,06 | 1 348,69 | 1 265,94 | 82,75 |
2 | 5 254,69 | 1 348,69 | 1 279,37 | 69,32 |
3 | 3 961,74 | 1 348,69 | 1 292,95 | 55,74 |
4 | 2 655,08 | 1 348,69 | 1 306,66 | 42,03 |
5 | 1 334,56 | 1 348,69 | 1 320,52 | 28,17 |
6 | 0,00 | 1 348,72 | 1 334,56 | 14,16 |
Итого: | 8 092,17 | 7 800,00 | 292,17 |
Проверить правильность построения графика платежей можно с помощью нашего кредитного калькулятора