§ 10. Структура аннуитетных платежей

 

Под структурой платежа понимается информация о том, какая его часть идёт на уплату начисленных процентов, а какая — на погашение основого долга. Напомню, что такое деление обусловлено использованием актуарного метода (см. § 7). В этом параграфе мы определим структуру платежей по кредиту, погашаемого в соответствии с аннуитетной схемой, когда промежутки времени между платежами одинаковы.

Ясно, что для платежа с номером k та часть платежа, которая идёт на уменьшение основного долга, равна разности Dk = Sk–1 – Sk (Sk — это сумма основного долга, оставшаяся после внесения частичного платежа с номером k). Так как формула (7.1) при использовании аннуитетной схемы погашения кредита принимает вид

\[S_k = S_0 (1+i)^{k\tau} - A \sum_{j=0}^{k-1} (1+i)^{j\tau}\]

(это при неточном расчёте, когда промежутки времени между датами внесения платежей считаются одинаковыми), то

\[D_k = S_{k-1} - S_k = \left[ (1 + i )^{(k-1)\tau} - (1 + i)^{k\tau} \right] S_0 + (1 + i)^{(k-1)\tau} A\]

Вынося общий множитель за скобки и собирая подобные слагаемые, получаем более краткую форму записи:

\[\tag{10.1} D_k = (1 + i)^{(k-1)\tau} (A-S_0((1+i)^\tau-1) ) \]

Наконец, вспомнив формулу (9.2) из предыдущего параграфа, выражение (10.1) можно ещё больше упростить:

\[\tag{10.2} D_k = (1 + i)^{(k-1)\tau} (A-A(1-(1+i)^{n\tau}))=(1+i)^{-\tau(n-k+1)}A  \]

Из формул (10.1) и (10.2) видно, что последовательность чисел Dk представляет собой геометрическую прогрессию с начальным членом

\[D_1 = A - S_0((1+i)^\tau-1) = \frac{A}{(1+i)^{n\tau}}\]

и знаменателем (1 + i)τ. Этот факт удобно использовать при построении графиков выплат.

Пример
Построим график погашения кредита размером 7800 долларов США, выданного на полгода под 13,5% годовых и погашаемого одинаковыми ежемесячными платежами.

В соответствии с формулой (9.2) аннуитетный платеж по кредиту равен

\(A = \frac{(1+0,135)^\frac{1}{12}-1}{1-(1+0,135)^{-\frac{6}{12}}} \cdot 7800 \approx 1348,69\) доллара.

Часть первого платежа, которая идёт на уменьшение основного долга, составляет

D1 = 1348,69 – \( (1+0,135)^\tfrac{1}{12}-1) \) · 7800 = \(\frac{1348,69}{(1+0,135)^{\tfrac{6}{12}}}\) ≈ 1265,94 доллара.

Числа D2D3 и т.д. находятся последовательным умножением на множитель (1 + i)τ =\(1,135^\tfrac{1}{12}\) = 1,0106086:

  • D2 = (1 + i)τ · D1 = 1,0106086 · 1265,94 ≈ 1279,37 долларов,
    D3 = (1 + i)τ · D2 = 1,0106086 · 1279,37 ≈ 1292,95 доллара,

и так далее.

Теперь можно построить график погашения кредита:

№ платежа (k) Величина задолженности (Sk) Ежемесячный платёж
Сумма платежа (Ak) в том числе
на погашение основного долга (Dk) на погашение процентов (Ik)
0 7 800,00      
1 6 534,06 1 348,69 1 265,94 82,75
2 5 254,69 1 348,69 1 279,37 69,32
3 3 961,74 1 348,69 1 292,95 55,74
4 2 655,08 1 348,69 1 306,66 42,03
5 1 334,56 1 348,69 1 320,52 28,17
6 0,00 1 348,72 1 334,56 14,16
  Итого: 8 092,17 7 800,00 292,17

Проверить правильность построения графика платежей можно с помощью нашего кредитного калькулятора