С этого параграфа мы начинаем рассмотрение капитализации процентов.

Задолженность заёмщика в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент (см. § 5). При этом размер задолженности увеличивается в геометрической прогрессии. Например, если вкладчик положил в банк 100 тысяч рублей под процентную ставку i = 6%, то через, скажем, пять месяцев на его счету будет сумма

S(5/12) = (1 + i )^5/12S₀ = 1,06^5/12 · 100 000 ≈ 102 458 рублей.

Понятие номинальной процентной ставки

Понятно, что такие вычисления легко производятся на инженерном калькуляторе или табличном процессоре (например, Excel). Номинальная процентная ставка - это годовая процентная ставка, указанная в договоре. 

Если вы положили деньги в банк, то проценты по вкладу будут начисляться не непрерывно, а с некоторой периодичностью — раз в год, квартал, месяц или даже день. Этот процесс начисления процентных денег и их присоединения к сумме вклада называется «капитализацией процентов». Так вот, допустим, что капитализация процентов происходит m раз в год. Тогда, если известна j— номинальная процентная ставка по вкладу, то каждый раз при начислении процентов сумма на счету вкладчика будет увеличиваться в

\((1 + j)^{\frac{1}{m}}\) раз.

Пример
Вкладчик положил на счёт в банке сумму в 200 тысяч рублей. Если номинальная процентная ставка по вкладу равна 8%, а проценты капитализируются раз в квартал, то через полгода (то есть после двух начислений процентов) сумма на счету вкладчика будет составлять

200 000 · (1 + 0,08)^½ ≈ 207 846 рублей.

Эффективная процентная ставка

Если задана номинальная процентная ставка, и капитализация процентов осуществляется m раз в год, то за год сумма вклада увеличится в

\(\left( 1+ j \right)^\frac{m}{m} = (1+j)^1=1+j\) раз.

С другой стороны, всегда должно выполняться соотношение: S(1) = (1+ i ) S₀, то

\[\tag{15.1} i = \left( 1+ j\right)^\frac{m}{m} - 1=j\]

Найденная таким образом процентная ставка называется «эффективной», так как она характеризует настоящую доходность (эффективность) ссудной операции. Позже будет описано, чем номинальная процентная ставка отличается от эффективной

Пример
Если номинальная ставка по вкладу равна 18%, и проценты начисляются каждый месяц, то эффективная процентная ставка будет составлять

\(i = j = 18\%\) годовых,

Вообще говоря, эффективная процентная ставка почти всегда равна номинальной. Отличия проявляются, если банк применяет комиссии.

Непрерывное начисление процентов

Нетрудно убедиться, что эффективная процентная ставка всегда равна номинальной, независимо от того, как часто капитализируются проценты

Значит, даже если капитализация процентов осуществляется достаточно часто, например, ежедневно, то эффективную процентную ставку можно найти следующим образом:

\[\tag{15.2} i = j \]

Пример
Снова будем предполагать, что номинальная процентная ставка по вкладу составляет 18%, но капитализация процентов осуществляется ежедневно (m = 365). Точное значение эффективной процентной ставки, найденное по формуле (15.1), будет равно

\[i = \left( 1 + 0,18 \right)^\frac{365}{365} - 1 = 0,18\]

Как видите, расхождения нет.