Для примера рассмотрим кредит размером S₀ рублей, который погашается частичными платежами A₁, A₂, ..., A_n в моменты времени t₁, t₂, ..., t_n соответственно. Допустим, что кредит выдан под правильную процентную ставку i. Тогда на момент внесения первого платежа сумма долга по кредиту будет равна

S₀ (1 + i) ^t₁ рублей.

В соответствии с актуарным методом первый платёж идёт на погашение начисленных за время t₁ процентов и частично — на погашение основного долга, и после его внесения сумма задолженности составит уже

S₁ = S₀ (1 + i) ^t₁ – A₁ рублей.

Далее, на момент внесения второго платежа сумма задолженности опять увеличится и будет равна

[S₀ (1 + i) ^t₁ – A₁] (1 + i) ^{t₂ – t₁} рублей,

а после его внесения —

S₂ = [S₀ (1 + i ) ^t₁ – A₁] (1 + i ) ^{t₂ – t₁} – A₂ = S₀ (1 + i ) ^t₂ – A₁ (1 + i ) ^{t₂ – t₁} – A₂ рублей.

И так далее. В общем случае будет справедлива следующая формула:

\[\tag{17.1} S_k = S_0 (1 + i )^{t_k} - \sum_{j=1}^k A_j (1 + i )^{t_k - t_j}\]

Желающие могут без труда доказать её с помощью метода математической индукции, как это было сделано в § 7.

Если подставить в формулу (17.1) значение k = n, вспомнить, что S_n = 0, и потом всё сократить на (1 + i)^t_n, то мы получим следующее элегантное соотношение:

\[\tag{17.2} S_0 = \sum_{k=1}^n \frac{A_k}{(1+i)^{t_k}}\]

Точно такая же формула, очевидно, получилась бы, если бы мы воспользовались не актуарным методом, а правилом торговца (чтобы понять это, достаточно просто вспомнить суть данного правила).

Пример
Cсуда, выданная на три года под правильную процентную ставку 25%, погашается двумя частичными платежами:

• в конце второго года — 400 тысяч рублей;
• в конце третьего года — 500 тысяч рублей.

Чтобы найти размер ссуды, нужно воспользоваться формулой (17.2), заметив по ходу дела, что (1+0,25)^–1= 0,8:

S₀ = 400 · 0,8² + 500 · 0,8³ = 512 тысяч рублей.

Обычно при работе со сложными процентами промежутки времени между датами внесения платежей достаточно велики, и точностью их определения пренебрегают. Поэтому, если платежи вносятся, скажем, ежеквартально, то промежутки времени между датами их внесения считаются одинаковыми. Формула (17.2) в этом случае принимает следующий вид:

\[\tag{17.3} S_0 = \sum_{k=1}^n \frac{A_k}{(1+i)^{k\tau}},\]

где τ — единая продолжительность (в годах) промежутков времени между датами внесения платежей.

Если все платежи при этом являются одинаковыми по размеру (то есть A₁ = A₂ = ... = A_n = A), то, вспомнив формулу для суммы геометрической прогрессии, мы получим следующее соотношение:

\[\tag{17.4} S_0 = \frac{A}{(1+i)^{n\tau}} \cdot \frac{(1+i)^{n\tau}-1}{(1+i)^\tau-1}=A\cdot \frac{1-(1+i)^{-n\tau}}{(1+i)^\tau-1}\]