Как мы отметили в предыдущем параграфе, непрерывный поток платежей характеризуется не конечным набором датированных сумм, а его непрерывным аналогом — функцией интенсивности денежного потока. Несмотря на это, принципы вычисления современной стоимости непрерывных потоков платежей остаются такими же.

Допустим, интенсивность некоторого непрерывного денежного потока F задаётся функцией f(t). Это значит, что за каждый конкретный промежуток времени (t, t + dt) данный поток приносит сумму денег, приближённо равную f(t) dt. Причём чем меньше величина dt, тем точнее приближение. Если сложная годовая процентная ставка равна i, то современная стоимость этого «микроплатежа» составляет

\[\tag{29.1} f(t) dt (1 + i )^{-t}\]

(в предположении, что этот платёж относится на начало соответствующего «микропериода»). Сумма всех таких «микроплатежей» и будет являться приближённым значением современной стоимости рассматриваемого нами непрерывного потока платежей. Причём, повторюсь, чем меньше величина dt, тем точнее приближение. Значит, для получения точного значения нам нужно устремить dt к нулю. Но сумма величин (29.1) при стремлении dt к нулю равна интегралу

\[\tag{29.2} F(0) = \int_0^T\frac{f(t)}{(1+i)^t} dt,\]

который и является современной стоимостью потока платежей F с функцией плотности f(t). В этой формуле T — это момент окончания денежного потока, который может равняться бесконечности.

Номинальная ставка непрерывного начисления процентов

Для непрерывного денежного потока номинальная процентная ставка должна соответствовать непрерывной капитализации (непрерывному начислению процентов). Процентную ставку i с номинальной процентной ставкой j при отсутствии комиссий объединяет соотношение

 i= j,

Значит, с использованием номинальной процентной ставки j формула (29.2) может быть записана таким образом:

\[\tag{29.3} F(0) = \int_0^T\frac{f(t)}{(1+i)^t} dt\]

Современная стоимость постоянного непрерывного потока платежей

Простейшим примером непрерывного денежного потока является поток с постоянной интенсивностью. Функция интенсивности такого потока представляет собой константу: f(t) = R для любого t:

Непрерывный поток с постоянной интенсивностью

Современная стоимость непрерывного потока с постоянной интенсивностью может быть легко вычислена, так как интеграл (29.3) разрешается в явном виде:

\[\tag{29.4} F(0) = \frac{R(1-(1+j)^{-T})}{ln(1+j)}\]

Если рента является бесконечной, то разность в скобках обращается в единицу:

\[\tag{29.5} F(0) = \frac{R}{ln(1+j)}\]

Пример
В примере, который мы рассматривали в § 25, вы хотели положить на счёт в банке некоторую сумму денег, чтобы каждые полгода в течение десяти лет снимать оттуда по 500 тысяч рублей. Допустим, что на самом деле вы планируете снимать эти деньги не раз в полгода, а более или менее равномерно. Предположим также, что банк начисляет проценты по вкладу достаточно часто (еженедельно или ежедневно). Поскольку рента непрерывная, нужно найти такое постоянное f(t), при котором\( \int_0^{\frac{1}{2}}f(t)(1+i)^t dt=500 \) тыс. Аналогично формуле 29.4:

\( f(t) \frac {(1+i)^{\frac{1}{2}}-1}{ln(1+i)}=500\) тыс.

\(f(t)=500\cdot \frac {ln(1+0,08)}{(1+0,08)^{0,5}-1} =980,8831212 \) тыс.

В этом случае ваш поток платежей представляет собой непрерывную ренту с постоянной интенсивностью f(t) = 980 883,12 (именно эту сумму вы планируете снимать за один год). Сумма, которую вам сейчас нужно положить на счёт, равна современной стоимости такого потока. Чтобы воспользоваться формулой (29.4) для её вычисления, нужно найти номинальную ставку непрерывного начисления процентов.

Напомню, что по условию примера нам была известна номинальная процентная ставка с полугодовым начислением процентов, которая составляла 8%.

Теперь мы можем применить формулу (29.4) для определения той суммы, которую вы должны положить в банк:

\(F(0) = \dfrac{980\ 883,12(1-(1+0,08)^{-10})}{ln(1+0,08)} \approx 6\ 841\ 701,18\) рублей.

Данный результат полностью соответствует результату из § 25. Таким образом, неважно с какой периодичностью происходят выплаты, начисления процентов, можно даже считать непрерывно, ответ будет один и тот же.