Существует один достаточно простой вид документа, с помощью которого можно зафиксировать обязательство заёмщика по возврату денег кредитору. Речь идёт о векселе.

Говоря формально, вексель — это составленное по установленной законом форме письменное долговое денежное обязательство, выданное одной стороной (векселедателем) другой стороне (векселедержателю). А говоря по-простому, вексель — это документ, в котором заёмщик гарантирует кредитору получение определённой суммы денег.

Виды векселей

Вексели бывают простые и переводные.

Простой вексель — это документ, содержащий обязательство векселедателя (должника) уплатить векселедержателю определённую сумму денег в определённый срок (срок исполнения векселя). Эта сумма денег называется номинальной стоимостью, или просто номиналом векселя.

По сути, простой вексель является долговой распиской. Например, если вы заняли у своего соседа 1000 рублей и обязуетесь вернуть через месяц 1050 рублей, то своё обязательство вы можете оформить в виде долговой расписки, или простого векселя. При этом составленный вами вексель будет вполне официальным договором. В случае невыполнения обязательств по нему ваш сосед вправе совершить все предписанные в таком случае законом действия, чтобы вернуть свои деньги.

Переводной вексель — это документ, содержащий приказ векселедателя плательщику уплатить векселедержателю определённую сумму денег (номинал) в определённый срок.

Таким образом, в отличие от простого векселя, в переводном векселе участвуют не два, а три лица. Например, предположим, что вы заняли у соседа всё те же 1000 рублей с обязательством вернуть через месяц 1050 рублей. Допустим, что есть также второй сосед, который ранее занимал у вас деньги и должен через месяц вернуть вам, скажем, 2000 рублей. Тогда вы можете составить переводной вексель, в котором даёте приказ второму соседу через месяц заплатить первому ваш долг в размере 1050 рублей.

Независимо от вида векселя, то есть от того, кто должен уплатить оговоренную в векселе сумму, векселедержатель является тем, кому она должна быть уплачена.

Учёт векселей

Ясно, что вексель сам по себе обладает некоторой ценностью, так как обеспечивает возможность получения определённой суммы денег в будущем. Поэтому вексели могут использоваться при расчётах в качестве платёжных средств, то есть передаваться от одного лица к другому.

Допустим, что держатель векселя хочет получить по нему деньги, но дата его исполнения ещё не настала. В этом случае векселедержатель может обратиться в банк, и банк купит у него вексель.

Покупка векселя банком называется учётом векселя.

Разумеется, сумма, выплачиваемая банком при учёте векселя, должна быть меньше, чем его номинальная стоимость. Скидка с номинальной стоимости векселя определяется с использованием так называемой простой учётной ставки. А именно, если T — период времени (в годах) между датой учёта и датой исполнения векселя, P — его номинальная стоимость, d — используемая банком учётная ставка, то сумма, которую банк заплатит векселедержателю при покупке векселя, составит

\[\tag{3.1}S = (1– d T ) P\]

Пример
Допустим, что вексель номиналом 150 000 рублей был учтён коммерческим банком по учётной ставке 9% за 3 месяца до даты погашения. При этом держатель векселя получил на руки

\((1-0,09 \cdot \frac{3}{12}) \cdot 150\ 000 = 146\ 625\) рублей.

Далее у банка есть как минимум два варианта, как распорядиться этим векселем:

• Погасить его через 3 месяца, получив номинал — 150 000 рублей.
• Переуступить его Центральному банку или какому-нибудь другому коммерческому банку по более низкой учётной ставке (такая операция называется «переучётом» или «редисконтированием» векселя).

Ясно, что для банка — владельца векселя невыгодно переучитывать вексель по учётной ставке, большей или равной той, по которой он сам осуществлял учёт.

Предположим, что в нашем примере вексель был переучтён Центральным банком по учётной ставке 6% за два месяца до даты погашения. Значит, через месяц после учёта векселя коммерческий банк получил от Центрального банка

\((1 - 0,06 \cdot \frac{2}{12}) \cdot 150\ 000 = 148\ 500\) рублей.

Таким образом, на этой операции «купли-продажи» векселя коммерческий банк заработал за месяц прибыль

148 500 – 146 625 = 1875 рублей.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда держатель векселя сам выдал его по учетной ставке 9% за полгода до обозначенного в векселе числа. Это значит, что он одолжил сумму

\( {150\ 000 \over 1 + 0,09 \cdot \frac{6}{12}}\approx 143\ 540,67\) рублей.

действительно, проценты начисляются на сумму долга 143 540,67.

\( 143\ 540,67 + 9\% \cdot \frac{6}{12}\approx 150\ 000,00\)

Через три месяца у него вместо 143 540,67 рублей оказалось 146 625,00. Теоретически, если он сумму 146 625,00 рублей опять одолжит под учетную ставку 9% на 3 месяца, то он получит ровно 150 000,00 рублей (номинал первого векселя). Проверяем:

\( 146\ 625 \cdot (1+0,09 \cdot \frac{3}{12}) \approx 149\ 924,06 \)

Не сходится. Вот мы и столкнулись с первым проявлением того, что, во-первых, проценты рассчитаны не от той суммы, а, во-вторых, проявился предрассудок, что проценты складываются.

Остановимся на этих моментах поподробнее. 

1. Проценты рассчитаны не от той суммы. 

Действительно, когда держатель векселя одолжил под ставку 9% годовых сумму 143 540,67 рублей, теоретически он мог сразу учесть вексель в банке под те же 9% годовых и получить свои 143 540,67 рублей в точности такую же сумму, как и выдал. Проверяем:

\((1-0,09 \cdot \frac{6}{12}) \cdot 150\ 000 = 143\ 250\) рублей.

Но это не так! Это связано с тем, что при одалживании процент начисляется снаружи, а при учете банком векселя процент считается внутри. В итоге, поступаем точно так же, как мы делали в первом параграфе, избавляемся от ложного значка % и смотрим, что получается:

\( 9\% \cdot \frac{6}{12}=4,5\%\)

\( 143\ 540,67+4,5\% - 4,5\%=143\ 540,67 \cdot 1,045 \cdot 0,955 \approx 143\ 250 \)

Это всё потому, что +4,5%-4,5% не равно 0%, а равно 1,045∙0,955=0,997975=-0,2025%, проценты в общем случае НЕ СКЛАДЫВАЮТСЯ.

Итак, мы доказали, что формула учёта векселей 

\[S = (1– d T ) P\]

не верна, поскольку при одалживании проценты считаются снаружи, а при учете векселя внутри.

2. Проценты не складываются.

Поскольку проценты не складываются, значит, они и не делятся пропорционально периоду. Вспоминаем задачу 5 из первого параграфа. Для того, чтобы определить проценты за полгода, надо найти квадратный корень из множителя 1,09, то есть, формула должна быть такая:

\( (1+0,09)^{6\over 12}-1\approx 0,044=4,4\% \)

Теперь, суммируя все вышесказанное, формула учёта векселей должна быть такая:

если T — период времени (в годах) между датой учёта и датой исполнения векселя, P — его номинальная стоимость, d — используемая банком учётная ставка, то сумма, которую банк заплатит векселедержателю при покупке векселя, составит

\[\tag{3.2}S = {P\over (1+d)^T}\]

а формула расчёта процентов при одалживании на самом деле такая:

\[\tag{3.3}S = {P(1+d)^T}\]

Здесь T - период между одалживанием и исполнением векселя.

Тогда решение задачи с векселем 150 000 будет такое:

Держатель векселя одолжил не 143 540,67 рублей, а:

\( {150\ 000 \over (1+0,09)^{6\over 12}}\approx 143\ 673,94 \)

Через три месяца банк учел вексель по ставке 9%:

\( {150\ 000 \over (1+0,09)^{3\over 12}}\approx 146\ 802,90 \)

а не  146 625 рублей.

Теперь если держатель векселя опять одолжит под 9% годовых на 3 месяца 146 802,90 рублей, то он получит

\( 146\ 802,90 \cdot (1+0,09)^{3 \over 12} \approx 150\ 000,00 \)

Вот теперь всё сходится!

Вы скажете, что как все просто получается, неужели до такой простой мысли никто не додумался раньше? Да, всё просто, но это когда у тебя есть калькулятор. До того, как придумали вычислительную технику, рассчитать, какой у тебя квадратный корень, а тем более, корень 365 или 366 степени (если потребуется посчитать проценты за день), не так-то просто. Вот на протяжении тысячелетий и приходилось как-то выпутываться из этой ситуации. Для этого и пользовались приближенной формулой:

\[ \tag{3.4}(1+x)^y-1\approx xy \]

Эта формула действительно дает хорошее приближение, если y очень мало отличается от нуля. По этой же причине и различие между процентами снаружи и процентами внутри при малых значениях y от нуля также незначительно.

Пора дать отпор этой закостенелой невежественности, этому непомерно большому предрассудку, что проценты складываются. ЭТО НЕ ТАК.

Нельзя сказать, что я первый, кто об этом заявляет во всеуслышанье. До этого были попытки профессора Белоглазовой в 2010 году, но, возможно это и совпадение, но в 2014 году ее неожиданно не стало.