§ 4. Продолжительность финансовых операций
Так уж исторически повелось, что время в финансовых расчётах принято выражать в годах. И всё было бы хорошо, но на практике это приводит к тому, что становится невозможно однозначно определить продолжительность конкретной финансовой операции.
Например, пусть по условиям договора дата начала сделки — 1 марта, а дата окончания — 1 апреля того же года. То есть продолжительность сделки — 1 месяц. Вроде бы всё просто, но какова эта продолжительность в годах? На ум сразу приходят как минимум два ответа:
- 1/12, так как сделка длится один месяц, а в году 12 месяцев;
- 31/365, так как сделка длится 31 день, а в году 365 дней (предполагаем, что год невисокосный).
Какой из этих вариантов правильный? Как вы понимаете, никакой. Всё дело в том, как договорятся подписавшие договор стороны. А договариваться есть о чём: разница между 1/12 и 31/365 — всего около 2%, но если данная сделка — это многомиллионная ссуда, проценты по которой пропорциональны её продолжительности в годах, то разница по деньгам будет довольно значительная.
Способы определения продолжительности операций
На самом деле, методов определения продолжительности финансовой операции в годах было придумано (и используется!) не два, а целых четыре. Различаются эти методы по двум параметрам — по способу подсчёта продолжительности операции в днях и по способу подсчёта числа дней в году (принятое при расчётах число дней в году называется «временнóй базой»). Варианты такие: дни можно подсчитывать либо точно (считая, что каждый промежуток времени содержит ровно столько дней, сколько он на самом деле содержит), либо приближённо (считая, что в каждом месяце ровно 30 дней, а в году, соответственно, 360). Два варианта определения одного параметра и два варианта определения другого параметра вместе дают четыре варианта расчёта продолжительности финансовой операции в годах:
- продолжительность операции в днях и временная база определяются точно (условное обозначение этого метода — «365/365», понятно, почему);
- продолжительность операции в днях определяется точно, а временная база — приближённо («365/360»);
- продолжительность операции в днях и временная база определяются приближённо («360/360»);
- продолжительность операции в днях определяется приближённо, а временная база — точно («360/365»).
В общемировой практике наиболее распространёнными являются первые три способа, в России — первый. Именно поэтому во всех последующих параграфах, если не будет особо оговорено, мы будем предполагать, что продолжительность финансовых операций определяется по методу «365/365».
В практических расчётах, когда требуется найти число дней (неважно, точное или приближённое) между датами начала и окончания финансовой операции, первый день не считается. Это связано с тем, что начисление процентов происходит на начало операционного дня. Проценты начинают начисляться со второго дня за второй день заранее. Например, если операция начинается 31 декабря 2007 года и заканчивается 1 января 2008 года, то её продолжительность принимается равной \({1 \over 366}\) года.
При точном подсчёте числа дней финансовой операции всем датам в году присваиваются порядковые номера: 1 января имеет порядковый номер 1, 31 декабря — 365 (если год невисокосный, разумеется). Продолжительность сделки, которая совершается в течение одного года, определяется так: из порядкового номера даты её окончания вычитается порядковый номер даты её начала. Перечень дат с присвоенными им порядковыми номерами для обычного (невисокосного) года приведён в Таблице 4.1 в конце параграфа. Если год високосный, то к порядковым номерам всех дат, начиная с 1 марта, прибавляется единица.
Пример
Допустим, что по условиям договора некая финансовая операция начинается 17 октября 2006 года и заканчивается 29 сентября 2008 года. Определим её продолжительность в годах с использованием каждого из четырёх методов.
Начнём с тех методов, в которых подсчитывается точное количество дней.
Так как 2006 год — невисокосный, то 17 октября имеет порядковый номер 290, а всего в году 365 дней. Значит, в этом году рассматриваемая операция захватывает 365 – 290 = 75 дней. Обратите внимание, что при таком расчёте саму дату 17 октября мы не учитываем.
Следующий, 2007 год, имеющий продолжительность 365 дней (так как он также не является високосным), захватывается ссудной операцией полностью.
Наконец, в 2008 году операция длится 272 + 1 = 273 дня. Мы прибавили единицу к порядковому номеру даты 29 сентября, потому что 2008 год — високосный.
Теперь мы можем определить продолжительность рассматриваемой ссудной операции в годах по методам «365/360» и «365/365», то есть когда временная база выбирается приближённо или точно.
По методу «365/360», когда число дней подсчитывается точно, а временная база — приближённо, продолжительность операции в годах составляет
\(\dfrac{75+365+273}{360} = \dfrac{713}{360} \approx 1,98\) года.
По методу «365/365», когда и количество дней, и временная база находятся точно, продолжительность операции в годах равна
\(\dfrac{75}{365}+\dfrac{365}{365}+\dfrac{273}{366}=\dfrac{75}{365}+1+\dfrac{273}{366} \approx 1,95\) года.
Либо можно рассчитать проще
\(2008\dfrac{273}{366}-2006\dfrac{290}{365} \approx 1,95\) года.
Обратите внимание, что для последнего года временная база равна 366 дням, так как он является високосным.
Теперь перейдём к методам, где необходимо использовать приближённое количество дней.
При приближённом подсчёте считается, что в каждом месяце ровно 30 дней, поэтому вычисления несколько упрощаются. А именно, в октябре 2006 года ссудная операция захватывает 13 дней, в сентябре 2008 года — 29 дней. Во всех «промежуточных» месяцах операция длится по 30 дней. Значит, её приближённая продолжительность в днях составляет:
- в 2006 году — 13 + 2 · 30 = 73 дня;
в 2007 году — 12 · 30 = 360 дней;
в 2008 году — 8 · 30 + 29 = 269 дней;
Теперь найдём продолжительность ссудной операции в годах, используя методы «360/360» и «360/365».
По методу «360/360», то есть когда и число дней, и временная база находятся приближённо, продолжительность операции в годах составляет
\(\dfrac{73+360+269}{360}=\dfrac{702}{360} = 1,95\) года.
Наконец, по методу «360/365», когда число дней находится приближённо, а временная база — точно, продолжительность операции в годах равна
\(\dfrac{73}{365} + \dfrac{360}{365} + \dfrac{269}{366} \approx 1,92\) года.
Продолжительность ссуды и размер задолженности
Напоследок вернёмся к вопросу, который мы затронули в самом начале этого параграфа, — как влияет способ расчёта продолжительности ссудной операции на её результат. Независимо от способа погашения, процентные деньги за пользование ссудой всегда увеличиваются с увеличением её продолжительности в годах. Значит, можно однозначно сказать, что
- проценты по ссуде, продолжительность которой рассчитана по методу «360/365», будут всегда меньше, чем проценты по точно такой же ссуде, продолжительность которой рассчитана по методу «360/360»;
- проценты по ссуде, продолжительность которой рассчитана по методу «365/365», будут всегда меньше, чем проценты по точно такой же ссуде, продолжительность которой рассчитана по методу «365/360».
К сожалению, про другие пары методов ничего определённого сказать нельзя. Например, продолжительность в годах финансовой операции, рассчитанной по методу«365/365», может быть как больше, так и меньше её продолжительности, рассчитанной по методу «360/365» (скажем, для операции, длящейся весь январь, продолжительность будет больше, а для операции, длящейся весь февраль — меньше).
| Дни | Янв | Фев | Мар | Апр | Май | Июн | Июл | Авг | Сен | Окт | Ноя | Дек | Дни |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 32 | 60 | 91 | 121 | 152 | 182 | 213 | 244 | 274 | 305 | 335 | 1 |
| 2 | 2 | 33 | 61 | 92 | 122 | 153 | 183 | 214 | 245 | 275 | 306 | 336 | 2 |
| 3 | 3 | 34 | 62 | 93 | 123 | 154 | 184 | 215 | 246 | 276 | 307 | 337 | 3 |
| 4 | 4 | 35 | 63 | 94 | 124 | 155 | 185 | 216 | 247 | 277 | 308 | 338 | 4 |
| 5 | 5 | 36 | 64 | 95 | 125 | 156 | 186 | 217 | 248 | 278 | 309 | 339 | 5 |
| 6 | 6 | 37 | 65 | 96 | 126 | 157 | 187 | 218 | 249 | 279 | 310 | 340 | 6 |
| 7 | 7 | 38 | 66 | 97 | 127 | 158 | 188 | 219 | 250 | 280 | 311 | 341 | 7 |
| 8 | 8 | 39 | 67 | 98 | 128 | 159 | 189 | 220 | 251 | 281 | 312 | 342 | 8 |
| 9 | 9 | 40 | 68 | 99 | 129 | 160 | 190 | 221 | 252 | 282 | 313 | 343 | 9 |
| 10 | 10 | 41 | 69 | 100 | 130 | 161 | 191 | 222 | 253 | 283 | 314 | 344 | 10 |
| 11 | 11 | 42 | 70 | 101 | 131 | 162 | 192 | 223 | 254 | 284 | 315 | 345 | 11 |
| 12 | 12 | 43 | 71 | 102 | 132 | 163 | 193 | 224 | 255 | 285 | 316 | 346 | 12 |
| 13 | 13 | 44 | 72 | 103 | 133 | 164 | 194 | 225 | 256 | 286 | 317 | 347 | 13 |
| 14 | 14 | 45 | 73 | 104 | 134 | 165 | 195 | 226 | 257 | 287 | 318 | 348 | 14 |
| 15 | 15 | 46 | 74 | 105 | 135 | 166 | 196 | 227 | 258 | 288 | 319 | 349 | 15 |
| 16 | 16 | 47 | 75 | 106 | 136 | 167 | 197 | 228 | 259 | 289 | 320 | 350 | 16 |
| 17 | 17 | 48 | 76 | 107 | 137 | 168 | 198 | 229 | 260 | 290 | 321 | 351 | 17 |
| 18 | 18 | 49 | 77 | 108 | 138 | 169 | 199 | 230 | 261 | 291 | 322 | 352 | 18 |
| 19 | 19 | 50 | 78 | 109 | 139 | 170 | 200 | 231 | 262 | 292 | 323 | 353 | 19 |
| 20 | 20 | 51 | 79 | 110 | 140 | 171 | 201 | 232 | 263 | 293 | 324 | 354 | 20 |
| 21 | 21 | 52 | 80 | 111 | 141 | 172 | 202 | 233 | 264 | 294 | 325 | 355 | 21 |
| 22 | 22 | 53 | 81 | 112 | 142 | 173 | 203 | 234 | 265 | 295 | 326 | 356 | 22 |
| 23 | 23 | 54 | 82 | 113 | 143 | 174 | 204 | 235 | 266 | 296 | 327 | 357 | 23 |
| 24 | 24 | 55 | 83 | 114 | 144 | 175 | 205 | 236 | 267 | 297 | 328 | 358 | 24 |
| 25 | 25 | 56 | 84 | 115 | 145 | 176 | 206 | 237 | 268 | 298 | 329 | 359 | 25 |
| 26 | 26 | 57 | 85 | 116 | 146 | 177 | 207 | 238 | 269 | 299 | 330 | 360 | 26 |
| 27 | 27 | 58 | 86 | 117 | 147 | 178 | 208 | 239 | 270 | 300 | 331 | 361 | 27 |
| 28 | 28 | 59 | 87 | 118 | 148 | 179 | 209 | 240 | 271 | 301 | 332 | 362 | 28 |
| 29 | 29 | 88 | 119 | 149 | 180 | 210 | 241 | 272 | 302 | 333 | 363 | 29 | |
| 30 | 30 | 89 | 120 | 150 | 181 | 211 | 242 | 273 | 303 | 334 | 364 | 30 | |
| 31 | 31 | 90 | 151 | 212 | 243 | 304 | 365 | 31 | |||||
| Дни | Янв | Фев | Мар | Апр | Май | Июн | Июл | Авг | Сен | Окт | Ноя | Дек | Дни |
Данная таблица представлена формулой:
d+[30,56∙m]-30-[0,1∙m+0,7]∙2
в квадратных скобках - наибольшее целое число, не превосходящее значение в скобках
например, [152,8]=152
для 31 мая порядковый номер 31+[30,56*5]-30-[1,2]*2=31+[152,8]-30-2=151
Для високосного года
d+[30,56∙m]-30-[0,1∙m+0,7]
для 31 мая порядковый номер 31+[30,56*5]-30-[1,2]=31+[152,8]-30-1=152
Итого, общая формула
d+[30,56∙m]-30-[0,1∙m+0,7]∙(367-D), где
d- число,
m- месяц
D- продолжительность года (365 или 366 дней)
Продолжительность года по григорианскому календарю вычисляется по формуле:
\[D=365+\left(\left[{y\over 4}\right]-\left[{y-1\over 4}\right]\right)-\left(\left[{y\over 100}\right]-\left[{y-1\over 100}\right]\right)+\left(\left[{y\over 400}\right]-\left[{y-1\over 40}\right]\right)\]
где y - год, для которого вычисляется продолжительность.
Остаётся только добавить, что все споры о том, какой день считать: первый или последний, свелись к тому, что первый день не считать, а последний считать.
В итоге победила та точка зрения, при которой, например, 31 декабря 2008 года будет считаться в годах \(2008{366\over 366}\), то есть, 2009.
Строго говоря, в годах эта дата должна быть вообще \(2007{365\over 366}\).
Поясню на примере. Когда говорят, что ребенку идет третий год, это значит, что ему два года с чем-то. Точно так же и в летоисчислении: если идёт 2008-ой год, это значит, что Иисусу Христу 2007 лет.
Это если не брать во внимание, что по оценкам современных учёных, Иисус Христос мог родиться в интервале от 7 г. до н. э, — 3 г. н. э., а скорее всего, в 6-4 г. до н.э., поскольку «Иисус родился в Вифлееме Иудейском в дни царя Ирода» (Матф., 2:1). Царь Ирод, как свидетельствует история, умер в 4 г. до н. э.
Кроме того, в описании событий казни Иисуса упоминается о том, что «в шестом часу настала тьма по всей земле и продолжалась до часа девятого» (Марк, 15:33; Лука, 23:44). Это, очевидно, было полное солнечное затмение, наблюдавшееся в Палестине в течение трех часов. Современная астрономия позволяет точно установить, когда это было: в 28 г. н. э. С учетом возраста Христа, устанавливаем год его рождения — 6 г. до н. э.
И с этим не всё так просто: нулевого года не может быть, потому что перед 1-ым годом нашей эры идёт первый год до нашей эры. При оценке даты какого-либо события этим фактом могли пренебречь.
Мы все эти математические, исторические и лингвистические тонкости отбрасываем и считаем юридически для нашей страны 31 декабря 2008 года в годах будет 2009.