§ 6. Применение простых и сложных процентов
В чем состоит дискредитация методов простых и сложных процентов?
Рассмотрим "Методические рекомендации к Положению Банка России "О порядке начисления процентов по операциям, связанным с привлечением и размещением денежных средств банками, и отражения указанных операций по счетам бухгалтерского учета" от 26 июня 1998 г. N 39-П" (утв. Банком России 14.10.1998 N 285-Т)
Формулы определения
наращенной суммы долга по привлеченным
(размещенным) средствам банков:
1. По формуле простых процентов:
S = Р х (1 + I х t/K), где
I - годовая процентная ставка
t - количество дней начисления процентов по привлеченным (размещенным) денежным средствам
К - количество дней в календарном году (365 или 366)
Р - первоначальная сумма привлеченных (во вклад, депозит и на другие банковские счета) или размещенных (в кредит, заем и на других банковских счетах) денежных средств
S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату (получению), равная первоначальной сумме привлеченных (размещенных) денежных средств плюс начисленные проценты.
2. По формуле сложных процентов:
S = P х (1 + I х j/K)n , где
I - годовая процентная ставка
j - количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов
К - количество дней в календарном году (365 или 366)
n - количество операций по капитализации начисленных процентов в течение общего срока привлечения (размещения) денежных средств
Р - первоначальная сумма привлеченных (во вклад, депозит и на другие банковские счета) или размещенных (в кредит, заем и на других банковских счетах) денежных средств
S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату (получению), равная первоначальной сумме привлеченных (размещенных) денежных средств плюс начисленные капитализированные проценты.
Если мы посмотрим формулы методов простых и сложных процентов из § 5, то мы увидим, что применение метода простых процентов невозможно, поскольку начисление происходит только на первоначальную сумму долга, а применение метода сложных процентов невозможно, поскольку расчет, по мнению Центробанка, производится совсем по другой формуле (это и есть те самые сложные проценты, о которых пойдет речь в §20. Расчет полной стоимости кредита.).
Таким образом, возможно применение только метода правильных процентов.
При правильном расчете "365/365" проценты начисляются по формуле
\(p_i=K_{i-1}((1+r)^{D_i-D_{i-1}}-1)\)
p - сумма начисленных процентов, руб.
Ki-1 - остаток вклада на предыдущем этапе, руб.
r - годовая процентная ставка, доли единицы, например, 10%=0,1
\(D_i=y_i+{d_i+[30,56m_i]-31-[0,1m_i+0,7](367-j_i) \over j_i}\)
yi - год
di - день
mi - месяц
\(j_i = 365+([{y_i \over 4}]-[{y_i-1 \over 4}]) - ([{y_i \over 100}]-[{y_i-1 \over 100}]) + ([{y_i \over 400}]-[{y_i-1 \over 400}]) \)
[x] - наибольшее целое число, не превышающее x
Следует отметить, что сложные проценты могут вычисляться и при помощи формулы простых процентов. Совершенно не значит, что раз проценты начисляются по формуле простых процентов, значит, это простые проценты. И вообще, простые проценты - это сложные проценты с единственной капитализацией процентов. Разберем на примерах:
Пример 1. Вкладчик сделал вклад 1000000 руб. под 100% годовых 14.01.2022 под сложные проценты с ежедневной капитализацией сроком на 2 месяца:
Можно посчитать по формуле сложных процентов:
\(1000000\cdot (1+{100\% \over 365\cdot 100\%})^{59} \approx 1175181,74\)
Можно посчитать по формуле простых процентов, каждый день их капитализируя:
| Дата | Вклад |
| 14.01.2022 | 1000000 |
| 15.01.2022 | 1002739,73 |
| 16.01.2022 | 1005486,96 |
| 17.01.2022 | 1008241,72 |
| 18.01.2022 | 1011004,03 |
| 19.01.2022 | 1013773,9 |
| 20.01.2022 | 1016551,36 |
| 21.01.2022 | 1019336,43 |
| 22.01.2022 | 1022129,13 |
| 23.01.2022 | 1024929,48 |
| 24.01.2022 | 1027737,51 |
| 25.01.2022 | 1030553,23 |
| 26.01.2022 | 1033376,66 |
| 27.01.2022 | 1036207,83 |
| 28.01.2022 | 1039046,76 |
| 29.01.2022 | 1041893,46 |
| 30.01.2022 | 1044747,96 |
| 31.01.2022 | 1047610,28 |
| 01.02.2022 | 1050480,45 |
| 02.02.2022 | 1053358,48 |
| 03.02.2022 | 1056244,39 |
| 04.02.2022 | 1059138,21 |
| 05.02.2022 | 1062039,96 |
| 06.02.2022 | 1064949,66 |
| 07.02.2022 | 1067867,33 |
| 08.02.2022 | 1070792,99 |
| 09.02.2022 | 1073726,67 |
| 10.02.2022 | 1076668,39 |
| 11.02.2022 | 1079618,17 |
| 12.02.2022 | 1082576,03 |
| 13.02.2022 | 1085541,99 |
| 14.02.2022 | 1088516,08 |
| 15.02.2022 | 1091498,32 |
| 16.02.2022 | 1094488,73 |
| 17.02.2022 | 1097487,33 |
| 18.02.2022 | 1100494,14 |
| 19.02.2022 | 1103509,19 |
| 20.02.2022 | 1106532,5 |
| 21.02.2022 | 1109564,1 |
| 22.02.2022 | 1112604 |
| 23.02.2022 | 1115652,23 |
| 24.02.2022 | 1118708,81 |
| 25.02.2022 | 1121773,77 |
| 26.02.2022 | 1124847,12 |
| 27.02.2022 | 1127928,89 |
| 28.02.2022 | 1131019,11 |
| 01.03.2022 | 1134117,79 |
| 02.03.2022 | 1137224,96 |
| 03.03.2022 | 1140340,64 |
| 04.03.2022 | 1143464,86 |
| 05.03.2022 | 1146597,64 |
| 06.03.2022 | 1149739 |
| 07.03.2022 | 1152888,97 |
| 08.03.2022 | 1156047,57 |
| 09.03.2022 | 1159214,82 |
| 10.03.2022 | 1162390,75 |
| 11.03.2022 | 1165575,38 |
| 12.03.2022 | 1168768,74 |
| 13.03.2022 | 1171970,85 |
| 14.03.2022 | 1175181,73 |
При этом каждый день мы считали по формуле простых процентов, но рекуррентно: например,
\(1000000\cdot (1+100\%\cdot {1 \over 365})\approx 1002739,73\)
Результат отличается всего на 1 копейку из-за округлений.
Пример 2.
Вкладчик сделал вклад 1000000 руб. под 100% годовых 14.01.2022 под сложные проценты с ежемесячной капитализацией сроком на 2 месяца, в году 360 дней, в месяце 30 дней:
По формуле сложных процентов:
\(1000000\cdot (1+100\%\cdot {30\over 360\cdot 100\%})^2\approx 1173611,11\)
По рекуррентной формуле простых процентов:
| Дата | Вклад |
| 14.01.2022 | 1000000 |
| 14.02.2022 | 1083333,33 |
| 14.03.2022 | 1173611,11 |
Пример 3.
Вкладчик сделал вклад 1000000 руб. под 100% годовых 14.01.2022 под сложные проценты с ежемесячной капитализацией сроком на 2 месяца:
По рекуррентной формуле простых процентов:
| Дата | Вклад |
| 14.01.2022 | 1000000 |
| 14.02.2022 | 1084931,51 |
| 14.03.2022 | 1168159,13 |
По формуле сложных процентов:
\(1000000\cdot(1+100\%\cdot {31\over 365\cdot 100\%})\cdot(1+100\%\cdot {28\over 365\cdot 100\%})\approx 1168159,13\)
Таким образом, формула сложных процентов, которую имел в виду законодатель:
\(S = P х \prod_{i=1}^n (1 + I х (D_i-D_{i-1}))\)
\(D_i=y_i+{d_i+[30,56m_i]-31-[0,1m_i+0,7](367-j_i) \over j_i}\)
yi - год
di - день
mi - месяц
\(j_i = 365+([{y_i \over 4}]-[{y_i-1 \over 4}]) - ([{y_i \over 100}]-[{y_i-1 \over 100}]) + ([{y_i \over 400}]-[{y_i-1 \over 400}]) \)
[x] - наибольшее целое число, не превышающее x