В предыдущем параграфе мы рассмотрели актуарный метод, используемый банками при учёте частичных платежей по кредитам. Однако существует ещё один подход к этому вопросу, называемый «правилом торговца». 

Суть правила торговца

Смысл этого метода достаточно прост и заключается в следующем. На каждый внесённый частичный платёж, так же, как и на основной долг, начисляются проценты. В момент окончания сделки сравниваются итоговая задолженность и все частичные платежи с начисленными на них процентами. Если необходимо, то делается последний погашающий платёж.

Поясним принцип действия правила торговца на том же примере, что и для актуарного метода.

Пример
Напомню, что мы рассматривали ссуду размером 1000 фунтов стерлингов Соединённого Королевства, выданную на год под годовую процентную ставку i = 20%. До окончания ссудной операции было сделано три частичных платежа:

• A₁ = 600 фунтов стерлингов через 3 месяца (t₁ = ¼) после начала сделки;
  A₂ = 10 фунтов стерлингов через полгода (t₂ = ½) после начала сделки;
  A₃ = 300 фунтов стерлингов через 9 месяцев (t₃ = ¾) после начала сделки.

Согласно принципу правила торговца, проценты начисляются:

1. На сумму основного долга S₀ = 1000 фунтов стерлингов в течение всего срока ссуды (итоговая задолженность составляет 1000 · (1+0,2) = 1200 фунтов).
2. На первый частичный платёж A₁ = 600 фунтов стерлингов, сделанный в момент времени t₁ = ¼, в течение девяти месяцев (сумма платежа с начисленными процентами составляет 600 · (1+ 0,2)^¾  = 687,92 фунтов).
3. На второй частичный платёж A₂ = 10 фунтов стерлингов, сделанный в момент времени t₂ = ½, в течение полугода (сумма платежа с начисленными процентами составляет 10 · (1+ 0,2)^½  = 10,95 фунтов).
4. На третий частичный платёж A₃ = 300 фунтов стерлингов, сделанный в момент времени t₃ = ¾, в течение трёх месяцев (сумма платежа с начисленными процентами составляет 300 · (1+ 0,2)^¼ = 313,99 фунтов).

Сумма всех частичных платежей с начисленными на них процентами равна 687,92 + 10,95 + 313,99 = 1012,86 фунтов стерлингов. Последний (погашающий) платёж A₄ равен разности между величиной итоговой задолженности (1200 фунтов) и этой суммой и составляет 1200 – 1012,86 = 187,14 фунта стерлингов.

Отметим, что всего за год заёмщик вернул кредитору 600 + 10 + 300 + 187,14 = 1097,14 фунта, что на 102,86 фунтов меньше, чем если бы он возвращал долг одним платежом в конце года.

Как видите, правило торговца является действительно простым методом. Правда, на практике он используется не так часто (фактически, а где он вообще используется?).

Сравнение актуарного метода и правила торговца

В конце этого параграфа мы выведем одно интересное равенство. Если вы не являетесь фанатом математических выкладок, то дальше можете не читать.

Итак, пусть ссуда размером S₀, выданная на срок T лет под годовую процентную ставку i, погашается частичными платежами A₁, A₂, ..., A_n в моменты времени t₁, t₂, ..., t_nсоответственно, причём t_n = T. Пусть, как и в § 7, τ₁, τ₂, ..., τ_n — это промежутки времени между датами внесения платежей.

Обозначим через A_n,а последний платёж, вычисленный с использованием актуарного метода, а через A_n,т — последний платёж, найденный по правилу торговца. Значение первой величины можно найти по формуле (7.2), а чтобы получить выражение для A_n,т, достаточно вспомнить суть правила торговца и убедиться, что справедливо представление:

\[\tag{8.1} A_{n,\text{т}} = S_0 ( 1+i)^{\sum_{k=1}^n \tau_k} - \sum_{k=1}^{n-1} A_k (1+ i)^{\sum_{j=k+1}^n\tau_j} \]

Утверждение
Если при расчётах с использованием актуарного метода все частичные платежи A₁, A₂, ..., A_n идут на погашение процентов и/или на уменьшение основного долга, то выполняется следующее соотношение:

A_n,а = A_n,т

Доказательство
Действительно,

\(( 1+i )^{\sum_{k=1}^n {\tau_k}} = \prod_{k=1}^n(1+i)^{\tau_k} \)

это обычное свойство степени, отсюда

\[\tag{8.2} A_{n,\text{а}} = S_0 \prod_{k=1}^n (1+i)^{\tau_k} - \sum_{k=1}^{n-1}A_k \prod_{j=k+1}^n (1+i)^{\tau_j}=S_0 ( 1+i )^{\sum_{k=1}^n {\tau_k}} - \sum_{k=1}^{n-1}A_k (1+ i)^{\sum_{j=k+1}^n\tau_j} = A_{n,\text{т}} \]