Самый распространённй способ возврата кредитов, используемый большинством банков, заключается в том, что кредит погашается одинаковыми платежами. Такие платежи называются «аннуитетными».

Аннуитетная схема в общем случае

Обозначим размер аннуитетного платежа через A. Если заранее известны даты всех будущих платежей (а при составлении конкретного кредитного договора они всегда известны и прописываются в договоре), то A находится из формулы (7.2):

\[\tag{9.1}  A = \frac{S_0}{\sum_{i=1}^n(1+i)^{D_0-D_i}}\]

Пример
Кредит размером 300 тысяч рублей выдан 1.02.2008 на полгода под 24% годовых и погашается равными платежами по первым числам каждого месяца. Чтобы по формуле (9.1) найти размер платежа по кредиту, вычислим сначала промежутки времени между датами внесения платежей:

• D₀=\(2008{31 \over 366}\) лет
• D₁=\(2008{60 \over 366}\) лет
• D₂=\(2008{91 \over 366}\) лет
• D₃=\(2008{121 \over 366}\) лет
• D₄=\(2008{152 \over 366}\) лет
• D₅=\(2008{182 \over 366}\) лет
• D₆=\(2008{213 \over 366}\) лет

Теперь найдём разности D₀-D_i:

• D₀-D₁=\(-{29 \over 366}\) лет
• D₀-D₂=\(-{60 \over 366}\) лет
• D₀-D₃=\(-{90 \over 366}\) лет
• D₀-D₄=\(-{121 \over 366}\) лет
• D₀-D₅=\(-{151 \over 366}\) лет
• D₀-D₆=\(-{182 \over 366}\) лет

Наконец, по формуле (9.1) находим размер платежа по кредиту:

A = \(\frac{300\ 000}{1,24^{-{29 \over 366}} + 1,24^{-{60 \over 366}} + 1,24^{-{90 \over 366}} + 1,24^{-{121 \over 366}} + 1,24^{-{151 \over 366}} + 1,24^{-{182 \over 366}}} \) ≈ 53173,45 рубля.

Конечно, если производить подобные расчёты не в качестве примера, а для дела, то эффективнее будет использовать какую-нибудь специальную программу или хотя бы табличный редактор (кстати, довольно удобно). 

Приближенное значение аннуитетного платежа

Бывают, тем не менее, такие ситуации, когда точные даты внесения платежей неизвестны. Например, когда вы строите предварительный график платежей по кредиту, только чтобы прикинуть, насколько обременительным он для вас будет. В этом случае ни о каком кредитном договоре и точных датах погашения кредита речи не идёт, поэтому считается, что промежутки времени между платежами составляют τ = 1/12 года. Разумеется, это предположение позволяет значительно упростить формулу (9.1), которая принимает следующий вид:

\[A = \frac{S_0}{\sum_{j=1}^n(1+i)^{-j\tau}}\]

Сумма в знаменателе дроби — это сумма n первых членов геометрической прогрессии с первым членом (1+i)^-τ и знаменателем (1+ i)^-τ, которая равна

\[\frac{(1+i)^{-\tau}\cdot((1+i)^{-n\tau}-1)}{(1+i)^{-\tau}-1}=\frac{(1+i)^{-n\tau}-1}{(1+i)^{\tau}\cdot((1+i)^{-\tau}-1)}=\frac{(1+i)^{-n\tau}-1}{1-(1+i)^{\tau}}=\frac{1-(1+i)^{-n\tau}}{(1+i)^{\tau}-1}\]

Подставляя это выражение в предыдущую формулу, окончательно получаем:

\[ \tag{9.2} A =\frac{(1+i)^\tau-1}{1-(1+i)^{-n\tau}} \cdot S_0 \]

Пример
Если считать, что в предыдущем примере точные даты внесения платежей неизвестны, то размер аннуитетного платежа A можно было бы приближённо найти с помощью формулы (9.2):

\(A =\dfrac{(1+0,24) ^ \frac{1}{12}-1}{1-(1+0,24)^{-6\cdot\frac{1}{12}}} \cdot 300\ 000 \approx 53\ 212,60\) рублей.

Погрешность результата (53 212,60 рублей) ничуть не хуже, чем посчитанный в предыдущем примере точный результат (53173,45 рублей).